Уравнения движения взлет набор высоты. Выделение уравнений продольного движения из полной системы уравнений продольного движения самолета

Кафедра: ТАУ

РАСЧЁТ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ САМОЛЁТА

Введение

1. Математическое описание продольного движения самолета

1.1 Общие сведения

1.2 Уравнения продольного движения самолета

1.3 Силы и моменты при продольном движении

1.4 Линеаризованные уравнения движения

1.5 Математическая модель привода стабилизатора

1.6 Математические модели датчиков угловой скорости и перегрузки

1.7 Математическая модель датчика положения штурвала

2. Техническое задание на разработку алгоритма ручного управления продольным движением самолета

2.1 Общие положения

2.2 Требования к статическим характеристикам

2.3 Требования к динамическим характеристикам

2.4 Требования к разбросам параметров

2.5 Дополнительные требования

3. План выполнения курсовой работы

3.1 Этап анализа

Введение

Целью курсовой работы является закрепление материала первой части курса ТАУ и освоение модальной методики расчета алгоритмов управления на примере синтеза закона управления продольным движением самолета. Методические указания содержат вывод математических моделей продольного движения самолета, электрогидравлического привода руля высоты, датчиков положения штурвала, угловой скорости тангажа, перегрузки, а также приводятся числовые данные для гипотетического самолета.

Одним из наиболее ответственных и трудных моментов при реализации методики модального синтеза является выбор желаемых собственных значений. Поэтому приведены рекомендации по их выбору.

Математическое описание продольного движения самолета

1. Общие сведения

Полет самолета осуществляется под влиянием сил и моментов, действующих на него. Отклоняя органы управления, летчик может регулировать величину и направление сил и моментов, тем самым, изменяя параметры движения самолета в желаемую сторону. Для прямолинейного и равномерного полета необходимо, чтобы все силы и моменты были уравновешены. Так, например, в прямолинейном горизонтальном полете с постоянной скоростью подъемная сила равна силе тяжести самолета, а тяга двигателя – силе лобового сопротивления. При этом обязательно должно соблюдаться и равновесие моментов. В противном случае самолет начинает вращаться.

Равновесие, созданное летчиком, может быть нарушено воздействием какого-либо возмущающего фактора, например, турбулентностью атмосферы или порывами ветра. Поэтому когда режим полета установлен, требуется обеспечить устойчивость движения.

Другой важнейшей характеристикой самолета является управляемость. Под управляемостью самолета понимают его способность реагировать на перемещение рычагов управления (органов управления). О хорошо управляемом самолете летчики говорят, что он хорошо «ходит за ручкой». Это означает, что для выполнения требуемых маневров летчику необходимо совершить простые по характеру отклонения рычагов и прилагать к ним небольшие по величине, но четко ощутимые усилия, на которые самолет отвечает соответствующими изменениями положения в пространстве без излишнего запаздывания. Управляемость – важнейшая характеристика самолета, определяющая возможность полета. На неуправляемом самолете летать невозможно.

Летчику одинаково трудно управлять самолетом, когда требуется прикладывать большие усилия к рычагам управления и выполнять большие перемещения штурвала, а также когда отклонения штурвала и усилия, потребные для их отклонения, слишком малы. В первом случае летчик быстро утомляется при совершении маневров. О таком самолете говорят, что он «тяжел в управлении». Во втором случае самолет реагирует на малое, иногда даже непроизвольное перемещение ручки, требуя от летчика большого внимания, точного и плавного управления. О таком самолете говорят что он «строг в управлении» .

На основе летной практики и теоретических исследований установлено, какими должны быть характеристики устойчивости и управляемости, чтобы удовлетворить требованиям удобного и безопасного пилотирования. Один из вариантов формулирования этих требований представлен в техническом задании на курсовую работу.

1. Уравнения продольного движения самолета

Обычно полёт самолёта рассматривают как движение в пространстве абсолютно жёсткого тела. При составлении уравнений движения используют законы механики, позволяющие в самом общем виде записать уравнения движения центра масс самолёта и его вращательного движения вокруг центра масс.

Исходные уравнения движения вначале записывают в векторной форме

m – масса самолета;

– равнодействующая всех сил;

– главный момент внешних сил самолёта, вектор суммарного вращающего момента;

– вектор угловой скорости системы координат;

– момент количества движения самолёта;

t – время.

Знак «» обозначает векторное произведение. Далее переходят к обычной скалярной записи уравнений, проектируя векторные уравнения на некоторую систему координатных осей.

Получаемые общие уравнения оказываются настолько сложными, что, по существу, исключают возможность проведения наглядного анализа. Поэтому в аэродинамике летательных аппаратов вводятся различные упрощающие приёмы и предположения. Очень часто оказывается целесообразным разделить полное движение самолёта на продольное и боковое. Продольным называется движение с нулевым креном, когда вектор силы тяжести и вектор скорости самолёта лежат в его плоскости симметрии. Далее будем рассматривать только продольное движение самолёта (рис. 1).

Это рассмотрение будем вести с использованием связанной ОXYZ и полусвязанной ОX e Y e Z e систем координат. За начало координат обеих систем принимается точка, в которой расположен центр тяжести самолета. Ось ОX связанной системы координат проводится параллельно хорде крыла и называется продольной осью самолета. Нормальная ось ОY перпендикулярна оси ОX и расположена в плоскости симметрии самолета. Ось ОZ перпендикулярна к осям ОX и ОY , а следовательно, и к плоскости симметрии самолета. Она называется поперечной осью самолета. Ось ОX e полусвязанной системы координат лежит в плоскости симметрии самолета и направлена по проекции на неё вектора скорости. Ось ОY e перпендикулярна оси ОX e и расположена в плоскости симметрии самолета. Ось ОZ e перпендикулярна к осям ОX e и ОY e .

Остальные обозначения, принятые на рис. 1: – угол атаки, – угол тангажа, – угол наклона траектории, – вектор воздушной скорости, – подъемная сила, – сила тяги двигателей, – сила лобового сопротивления, – сила тяжести, – угол отклонения рулей высоты, – момент тангажа, вращающий самолёт вокруг оси ОZ .

Запишем уравнение продольного движения центра масс самолёта

, (1)

где – суммарный вектор внешних сил. Представим вектор скорости с использованием его модуля V и угла его поворота относительно горизонта:

Тогда производная вектора скорости по времени запишется в виде:

. (2)

С учётом этого уравнения продольного движения центра масс самолёта в полусвязанной системе координат (в проекциях на оси ОX e и ОY e ) примут вид:

Уравнение вращения самолёта вокруг связанной оси OZ имеет вид:

где J z – момент инерции самолета относительно оси OZ , M z – суммарный вращающий момент относительно оси OZ .

Полученные уравнения полностью описывают продольное движение самолета. В курсовой работе рассматривается только угловое движение самолёта, поэтому далее будем учитывать только уравнения (4) и (5).

В соответствии с рис. 1, имеем:

угловая скорость вращения самолёта вокруг поперечной оси OZ (угловая скорость тангажа).

При оценке качества управляемости самолета большое значение имеет перегрузка. Она определяется как отношение действующей на самолёт суммарной силы (без учёта веса) к силе веса самолёта. В продольном движении самолёта используют понятие «нормальная перегрузка». По ГОСТ 20058–80 она определяется как отношение проекции главного вектора системы сил, действующих на самолёт, без учёта инерционных и гравитационных сил, на ось OY связанной системы координат к произведению массы самолёта на ускорение свободного падения:

Переходные процессы по перегрузке и угловой скорости тангажа определяют оценку летчиком качества управляемости продольного движения самолета.

1. Силы и моменты при продольном движении

Силы и моменты, действующие на самолёт, – это сложные нелинейные функции, зависящие от режима полёта и положения управляющих органов. Так, подъёмная сила Y и сила лобового сопротивления Q записываются в виде:

. (10)движения . Нарушения безопасности движения Обеспечение безопасности движения . Организация обеспечения безопасности движения . Управление безопасностью движения . Безопасность движения ...

Самолет движется в воздухе по действием аэродинамической силы , силы тяги двигателей и силы тяжести . С аэродинамической силой и ее проекциями на оси различных систем координат мы познакомились при изучении основ аэродинамики. Сила тяги создается силовой установкой самолета. Вектор обычно располагается в базовой плоскости самолета и образует некоторый угол с осью 0X связанной системы координат, но для простоты мы будем полагать, что этот угол равен нулю, а сам вектор приложен в центре масс.

Полет самолета можно условно разбить на несколько этапов: взлет, набор высоты, горизонтальный полет, снижение и посадка. Самолет также может совершать вираж и другие маневры. На некоторых этапах полета движение самолета может быть как установившимся, так и неустановившимся. При установившемся движении самолет летит с постоянной скоростью, при неизменных углах атаки, крена и скольжения. Ниже мы будем рассматривать только установившееся движение на этапах горизонтального полета, набора высоты и снижения.

Установившийся горизонтальный полет – это прямолинейный полет с постоянной скоростью на постоянной высоте (см. рис. 39). Уравнения движения центра масс самолета запишутся в этом случае следующим образом:

(48)

Поскольку угол атаки a мал (при этом cos a » 1, а sin a » 0), то можно записать:

Рис. 39. Схема сил, действующих на самолет в установившемся

горизонтальном полете

Если первое из этих равенств не будет выполняться, то скорость самолета будет либо увеличиваться, либо уменьшаться, т.е. не будет выполняться условие установившегося движения. Если же подъемная сила не равна силе тяжести, то самолет будет либо подниматься, либо снижаться, а это значит, что не будет выполняться условие горизонтального полета. Из этого равенства, зная формулу подъемной силы (35), можно получить величину скорости, необходимую для выполнения горизонтального полета V г.п.

Учитывая, что G = mg (где m – масса самолета, а g – ускорение свободного падения), можно записать:

, (50)

(51)

Из этой формулы видно, что скорость горизонтального полета зависит от массы самолета, плотности воздуха r (которая зависит от высоты полета), площади крыла S кр и коэффициента подъемной силы C ya . Поскольку C ya напрямую зависит от угла атаки a, то каждому значению скорости горизонтального полета будет соответствовать единственное значение угла атаки. Поэтому для обеспечения установившегося горизонтального полета с требуемой скоростью летчик задает определенную тягу двигателей и величину угла атаки.

Установившийся набор высоты – прямолинейное движение самолета вверх с постоянной скоростью. Схема сил, действующих на самолет при установившемся наборе высоты с углом наклона траектории q, показана на рис. 40.

Рис. 40. Схема сил, действующих на самолет при установившемся

наборе высоты (угол атаки принят малым и не показан)

В этом случае уравнения движения примут вид:

(52)

Необходимо отметить, что при наборе высоты тяга двигателей P уравновешивает не только силу лобового сопротивления X a , как в горизонтальном полете, но и составляющую силы тяжести G sinq. Подъемная сила Y a при этом требуется меньшая, поскольку G cosq < G .

Важной характеристикой самолета является его скороподъемность – вертикальная скорость набора высоты V y . Из рис. 40 видно, что:

. (53)

Установившееся снижение – прямолинейное движение самолета вниз с постоянной скоростью. На рис. 41 показана схема сил, действующих на самолет при снижении.

Рис. 41. Схема сил, действующих на самолет при установившемся

снижении (угол атаки принят малым и не показан)

Уравнения движения для установившегося снижения имеют вид:

(54)

Если мы поделим первое уравнение системы (54) на второе, то получим:

. (55)

Из уравнения (55) видно, что установившееся снижение возможно только, если тяга меньше лобового сопротивления (P < X a ). Обычно снижение происходит при малых значениях тяги (при тяге малого газа), поэтому можно принять, что P » 0. Такой режим полета называется планированием. В этом случае:

. (56)

Важной характеристикой является дальность планирования L пл с заданной высоты H пл. Легко видеть, что:

. (58)

Из формулы (58) видно, что чем выше аэродинамическое качество самолета, тем больше будет дальность планирования.

Анализ нелинейной системы дифференциальных уравнений ((2.1) - (2.7)) и их решение представляет определенные трудности. Поэтому первым шагом на пути их исследования является линеаризация связей между переменными, получение линейной математической модели самолета как объекта управления с последующим анализом динамических свойств.

Для получения линеаризованных уравнений движения необходимо установить зависимость сил и моментов от величин, и V а также от регулирующих факторов.

Сила тяги двигателя P зависит от внутренних параметров, а также от внешних условий, характеризуемых скоростью полета V, давлением p н и температурой T н в атмосфере.

Аэродинамические силы и моменты принято представлять в виде

где c x и c y - коэффициенты сопротивления и подъемной силы;

m z - коэффициент момента тангажа;

b A - длина хорды крыла;

S - площадь крыльев;

q - скоростной напор, вычисляемый по формуле:

Коэффициенты c x и c y являются функциями и V, а коэффициент m z функцией и в.

Для линеаризации уравнений (2.1) - (2.7) с учетом соотношений (2.8) - (2.9) воспользуемся известным методом представления нелинейных зависимостей в виде линейных отклонений относительно невозмущенного движения (в предположении малости этих отклонений). В качестве невозмущенного движения можно взять горизонтальный полет с постоянной скоростью. При этом будем пренебрегать влиянием нестационарности обтекания на аэродинамические характеристики самолета. Предположим, что невозмущенное движение самолета характеризуется параметрами V 0 ,H 0 , 0 , 0 , 0 ,не зависящими от времени. Пусть в некоторый момент времени вследствие возмущений, действующих на самолет, имеем:

где V, H - малые приращения.

Следовательно, возмущенное движение самолета состоит из невозмущенного движения и движения, характеризуемого малыми отклонениями. Такая трактовка возмущенного движения законна до тех пор, пока приращения V, и H остаются малыми, что имеет место для устойчивых систем. Так как одним из основных назначений системы управления является обеспечение устойчивости режима полета, то законность использования линеаризованных уравнений можно считать обеспеченной.

Разлагая силы P, X, Y и момент M z в ряды Тейлора по малым приращениям и ограничиваясь линейными членами приращений, вместо уравнений (2.1) - (2.5) получим:

где члены с верхними индексами обозначают частные производные по соответствующим переменным в окрестности невозмущенного движения.

Предположим, что невозмущенный полет является горизонтальным, тогда 0 =0. Для частных производных, входящих в уравнения (2.10), можно с учетом (2.8) написать:

в этих выражениях М - число Маха.

В целях дальнейших преобразований воспользуемся соотношениями:

или, если учесть, что

где a - скорость звука, то

Кроме того, воспользуемся зависимостью между высотой H и параметрами атмосферы и T H

Градиент температуры,

R - газовая постоянная.

Пользуясь выражением (2.13), найдем:

Следовательно

В целях сокращения записи введем безразмерные величины:

где - аэродинамическая постоянная времени самолета, а также вместо приращений, и будем записывать, и, придавая последним величинам смысл тех же приращений.

Воспользовавшись соотношениями (2.11) - (2.16), приведем уравнения (2.10) к виду:

r - радиус инерции самолета.

Система дифференциальных уравнений (2.17) является линейной математической моделью продольного движения самолета.

Динамика самолета в продольной плоскости характеризуется двумя составляющими: короткопериодической и длиннопериодической . В короткопериодическом движении очень резкие изменения претерпевают параметры и, характеризующие движение самолета относительно центра масс. При длиннопериодическом движении изменяются параметры и V, характеризующие положение центра масс самолета. Поэтому в уравнениях (2.17) можно положить = 0, считая, что за время изменения угловых координат и скорость полета практически не изменяется . Другими словами продольная ось самолета может совершать колебания относительно вектора скорости центра масс.

Если учесть сделанные замечания и принять, что равновесие продольных сил при возмущении по и не нарушается, то вместо системы (2.17) получим для случая горизонтального полета.

В продольной плоскости на самолет действуют сила тяжести G = mg (рис. 1.9), направленная по вертикали, подъемная сила У, направленная перпендикулярно скорости набегающего потока, сила лобового сопротивления X, направленная по скорости этого потока, и тяга двигателей Р, направленная к потоку под углом, близким к углу атаки а (полагая угол установки двигателей относительно оси Ох і равным нулю).

Продольное движение самолета наиболее удобно рассматривать в скоростной системе координат. В этом случае проекция вектора скорости на ось Оу равна нулю. Угловая скорость вращения каса­тельной к траектории движения центра масс относительно оси Ог

<ог= -В = & - а.

Тогда уравнения движения центра масс самолета в проекциях на оси Ох и Оу имеют следующий вид:

проекции сил на ось Ох (касательную к траектории):

mV = - X-Osm0-f-/°cosa; (1.2)

проекции сил на ось Оу (нормаль к траектории):

mVb = Y - G cos 0 — f~ Z3 sin a. (1.3)

Уравнения, описывающие вращение самолета относительно центра масс, наиболее простыми получаются в связанной системе

координат, поскольку ее оси сов­падают с главными осями инер­ции. Так как при рассмотрении изолированного продольного дви­жения полагаем р=0 (при этом условии скоростная система ко­ординат совпадает с полусвязан — ной) и, следовательно, ось Ог ско­ростной системы координат сов­падает с осью Ozi связанной системы, то уравнение моментов относительно оси Oz имеет вид:

где /2 - момент инерции самолета относительно оси Ог;

Мг - аэродинамический момент тангажа, продольный момент.

Для анализа характеристик продольного движения самолета относительно его центра масс необходимо добавить уравнение свя­зи углов атаки, тангажа и наклона траектории:

При рассмотрении динамики продольного траєкторного движе­ния самолета - движения его центра масс относительно земли - необходимы еще два кинематических уравнения:

xg = L*=V COS0; (1.6)

yg - H = V sin б, (1.7)

где Н - высота полета;

L - пройденное расстояние вдоль оси Oxg земной системы координат, кото­рая предполагается совпадающей по направлению с осью Ох скоростной системы.

В соответствии с гипотезой стационарности аэродинамические силы и моменты являются нелинейными функциями следующих параметров:

Х=Х(*% I7, М, Ря);

Г = Г(*9 1/, м, Ря);

M2 = Mz(bв. <*» а, V, М, рн),

: (ая “ скорость звука на высоте полета);

ря - плотность воздуха на высоте полета; бв - угол отклонения руля высоты.

Эти силы и моменты могут быть записаны через аэродинамиче­ские коэффициенты:

где Cx - Cx (a, M) -коэффициент лобового сопротивления;

Су -Су (a, М) -коэффициент подъемной силы;
mz-mz (бв, a, a, d, M) -коэффициент продольного момента M%

S - площадь крыла самолета;

Ьа -средняя аэродинамическая хорда САХ.

Тяга двигателей также является нелинейной функцией ряда па­раметров:

Р = Р(8д) М, рн, Тя),

где бл - перемещение органа, управляющего тягой двигателей; ри -давление на высоте полета;

Тя - абсолютная температура воздуха на высоте полета.

Будем рассматривать в качестве невозмущенного движения ус­тановившееся прямолинейное движение

Полагаем, что параметры возмущенного движения могут быть выражены через их установившиеся значения и малые приращения:

а = а0-4-Да;

Є-VU;

Проведя с учетом (1.15) линеаризацию уравнений возмущенно­го движения (1.2-1.7) и принимая во внимание уравнения невоз­мущенного движения (1.9-1.14), получим систему линейных диф­ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами :

mbV = - XvbV - Xм ДМ -Х“Да- А^р&Д yg- G cos 0ОД0 — f + COS а0ДМ - P0 sin а0Да — f P? cos а0рйдyg -f P T COS а„Тун^Уе +

cos «0Д8д; (1.16)

mV^b = YVW + КмДМ + К“Да — f Кіу Дyg + О sin 0ОД6 +

РМ sin аоДМ + PQ cos а0Да — f P? sin а0р^Дyg +

P T sin *ъТу„Ьув + P5 sin а0Д5д; (1.17)

Izb = M ® Д8В — f M’M — f МІДа — f AlfbA — f

В этих уравнениях для упрощения письма введены символиче­ские обозначения частных производных:

При исследовании динамики захода на посадку и посадки са­молета уравнения (1.16-1.18) могут быть упрощены за счет пре­небрежения (по их малости) членами, содержащими производные по параметрам р, Т, производными аэродинамических сил и их мо­ментов по числу М. По аналогичным соображениям производную Ям можно заменить производной Pv, а приращение ДМ - прира­щением XV. Кроме того, в уравнении моментов необходимо учесть, что Mzv = 0 и Мрг =0, поскольку коэффициент момента mZo = 0. Тогда уравнения (1.16-1.18) примут вид:

mAV=-XvAV — Х’1Ая — О cos 0ОД0 + Pv cos а0ДК —

Р„ s і П а0Д а — f — Р5 cos а0Д&л; (1.16а)

mV0A

Я0 cos а0Да-(-Р8 sin а0Д8д; (1.17a)

1$ = Щ Д8В + м Да + М Да + Д 8;

Yv=c!/oSpV0; Ya = cauS ;

Значения коэффициентов Cti Су, Cx, Су, niz, fflz, fflz, tftz Оп­ределяют с помощью графиков, составляемых на основании резуль­татов продувки моделей самолетов в аэродинамических трубах и летных испытаний самолета. Характеристики Рь необходимы при рассмотрении случаев, ког­да в возмущенном движении происходит перемещение органа, управляющего тягой, например, при рассмотрении продольного движения самолета, одновременно управляемого автопилотом и автоматом тяги (автоматом скорости). Если же в процессе возму­щенного движения Д6д=0, то последний член в уравнениях (1.16 и 1.17) равен нулю. Анализируя устойчивость движения неуправляемого самолета {с зажатыми органами управления), нужно учитывать, что устой­чивость такого движения совершенно не зависит от координаты хе и практически не зависит, вследствие пренебрежения влиянием Рн и Тн, от координаты yg. Поэтому при анализе устойчивости дви­жения самолета без системы автоматического управления уравне­ния (1.19 и 1.20) можно исключить из рассмотрения.

105" height="32">

Л, . « . Юг-^ =M-A. v0 K0

Заметим, что члены, содержащие управляющие координаты 6Д и 6В, находятся в правой части уравнений. Характеристический полином для системы уравнений движения неуправляемого само­лета (с зажатыми органами управления) имеет следующий вид:

А (р) = Р4 -f яjP3 + йоР2 + а3р — f д4, (1.24)

где йі = йу + £а-+ — f г — ;

+ — f с. + ^ь+с;)(«vr -60);

Й3 = Г« (rtK ~ + + + ^4)(a6^V ~av b*)>

ai - ca{atbv - avbH).

Согласно критерию Гурвица-Рауса движение, описываемое уравнением четвертого порядка, устойчиво тогда, когда коэффици­енты аь а2, а3 и а4 положительны и а3(аіа2-аз)-а4аі2>0.

Эти условия обычно удовлетворяются не только для режимов захода на посадку, но и для всех эксплуатационных режимов поле­та дозвуковых гражданских самолетов. Корни характеристического полинома (1.24) обычно комплексно-сопряженные, различные по величине, и им соответствуют два различных колебательных движе­ния. Одно из этих движений (короткопериодическое) имеет малый период с сильным затуханием. Другое движение (длиннопериоди­ческое, или фугоидное) является медленно затухающим движением с большим периодом.

Вследствие этого возмущенное продольное движение может рассматриваться как взаимное наложение этих двух движений. Учитывая, что периоды этих движений весьма различны и что ко­роткопериодическое колебание сравнительно быстро затухает (за 2-4 сек), оказывается возможным рассматривать короткоперио­дическое и длиннопериодическое движения изолированно друг от друга.

Возникновение короткопериодического движения связано с на­рушением равновесия моментов сил, действующих в продольной плоскости самолета. Это нарушение может быть, например, резуль­татом воздействия ветрового возмущения, приводящего к измене­нию угла атаки самолета, аэродинамических сил и моментов. Вследствие нарушения равновесия моментов самолет начинает поворачиваться относительно поперечной оси Oz. Если движение устойчиво, то он вернется к прежнему значению угла атаки. Если же нарушение равновесия моментов произошло вследствие откло­нения руля высоты, то самолет в результате короткопериодического движения выйдет на новый угол атаки, при котором равновесие мо­ментов, действующих относительно поперечной оси самолета, вос­станавливается.

За время короткопериодического движения скорость самолета не успевает значительно измениться.

Поэтому при исследовании такого движения можно полагать, что оно происходит при скорости невозмущенного движения, т. е. можно принять ДУ-0. Полагая исходный режим близким к гори­зонтальному полету (0«О), можно исключить из рассмотрения член, содержащий Ьд.

В этом случае система уравнений, описывающих короткоперио­дическое движение самолета, принимает следующий вид:

Дб - &аДа=0;

Д б + е j Д& — f ск Да — f саДа == с5Дйв; Дб = Д& - Да.

Характеристический полином для этой системы уравнении имеет вид:

Л(/>)к = д(/>2 + аі/> + а. Ф где а=ьЛск+с> Ї

Короткопериодическое движение устойчиво, если коэффициенты «і и 02 положительны, что обычно и имеет место, поскольку в об ласти эксплуатационных режимов величины b*, сх, г» и сущест­венно положительны.

ния стремится к нулю. При этом величина

частоту собственных колебаний самолета в короткопериодическом движении, а величина --- их затухание. Первая величина определяется главным образом коэффициентом ml, характеризу­ющим степень продольной статической устойчивости самолета. В свою очередь коэффициент ml зависит от центровки самолета, т. е. от взаимного расположения точки приложения аэродинамиче­ской силы и центра масс самолета.

Вторая величина, обусловливающая затухание, определяется

в большой степени коэффициентами моментов mlz и т% ■ Коэффи­циент т’"гг зависит от площади горизонтального оперения и его расстояния от центра масс, а коэффициент ml еще и от запаздыва­ния скоса потока у оперения. Практически, вследствие большого затухания, изменение угла атаки имеет характер, близкий к апе­риодическому.

Нулевой корень р3 указывает на нейтральность самолета отно­сительно углов д и 0. Это является следствием сделанного выпи упрощения (ДУ = 0) и исключения из рассмотрения сил, связанным с изменением угла тангажа, что допустимо только для начального периода возмущенного продольного движения - короткопериоди ческого *. Изменения углов A# и ДО рассматриваются в длиннопе риодическом движении, которое упрощенно можно считать начина­ющимся после окончания короткопериодического движения. При

1 Подробно по этому вопросу см .

этом Ла=0, а величины углов тангажа и наклона траектории отлич­ны от значений, имевших место в исходном невозмущенном движе­нии. Вследствие этого нарушается равновесие проекций сил на касательную и нормаль к траектории, что приводит к возникнове­нию длиннопериодических колебаний, в процессе которых происхо­дят изменения не только углов О и 0, но и скорости полета. При условии устойчивости движения равновесие проекций сил восста­навливается и колебания затухают.

Таким образом, для упрощенного исследования длиннопериоди­ческого движения достаточно рассмотреть уравнения проекций сил на касательную и нормаль к траектории, полагая Да = 0. Тогда сис­тема уравнений продольного движения принимает вид:

(1.28)

Характеристический полином для этой системы уравнений имеет вид:

где ai = av-b^ a2=abbv - avbb.

Устойчивость движения обеспечивается при условии «і >0; й2>0. Затухание колебаний существенно зависит от значений про­изводной Pv и коэффициента сХа, а частота собственных колеба­ний- еще и от коэффициента су„ поскольку эти коэффициенты определяют величины проекций сил на касательную и нормаль к траектории.

Следует отметить, что для случаев горизонтального полета, на­бора высоты и снижения с малыми углами 0 коэффициент Ьв имеет очень малую величину. При исключении члена, содержащего

из второго уравнения (1.28) получаем at = av; a2 = aebv.

Страница 1

Движение самолета как твердого тела состоит из двух движений: движения центра масс и движения вокруг центра масс. Поскольку в каждом из этих движений самолет обладает тремя степенями свободы, то в целом его движение характеризуется шестью степенями свободы. Для задания движения в любой момент времени необходимо задать шесть координат как функций времени.

Для определения положения самолета будем применять следующие системы прямоугольных координат (рис.2.1):

неподвижную систему Ox0y0z0, начало которой совпадает с центром масс самолета, ось Oy0 направлена по вертикали, а оси Ox0 и Oz0 горизонтальны и имеют фиксированное направление по отношению к Земле;

связанную систему Ox1y1z1 с началом в центре масс самолета, оси которой направлены по главным осям инерции самолета: ось Ox1 – по продольной оси, ось Oy1 – в плоскости симметрии, ось Oz1 перпендикулярна к плоскости симметрии;

скоростную систему Oxyz с началом в центре масс самолета, ось Ox которой направлена по вектору скорости V, ось Oy – в плоскости симметрии, ось Oz перпендикулярна к плоскости симметрии;

Положение связанной системы Ox1y1z1 по отношению к неподвижной системе Ox0y0z0 характеризуется углами Эйлера: φ – угол крена, ψ – угол рыскания и J - угол тангажа.

Положение вектора воздушной скорости V относительно связанной системы Ox1y1z1 характеризуется углом атаки α и углом скольжения b.

Нередко вместо инерциальной системы координат выбирается система, связанная с Землей. Положение центра масс летательного аппарата в этой системе координат можно характеризовать высотой полета H, боковым отклонением от заданной траектории полета Z и пройденным расстоянием L.

Рис. 2.1 Системы координат

Рассмотрим плоское движение летательного аппарата, при котором вектор скорости центра масс совпадает с плоскостью симметрии. Самолет в скоростной системе координат представлен на рис.2.2.

Рис. 2.2 Самолет в скоростной системе координат

Уравнения продольного движения центра масс самолета в проекции на оси OXa и OYa запишем в виде

(2.1)

(2.2)

Где m – масса;

V – воздушная скорость самолета;

P – сила тяги двигателя;

a – угол атаки;

q – угол наклона вектора скорости к горизонту;

Xa – сила лобового сопротивления;

Ya – аэродинамическая подъемная сила;

G – сила веса.

Обозначим через Mz и Jz соответственно суммарный момент аэродинамических сил, действующих относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, и момент инерции относительно той же оси. Уравнение моментов относительно поперечной оси самолета будет:

(2.3)

Если Мшв и Jв – шарнирный момент и момент инерции руля высоты относительно его оси вращения, Мв – управляющий момент, создаваемый системой управления, то уравнение движения руля высоты будет:

(2.4)

В четырех уравнениях (2.1) – (2.4) неизвестными являются пять величин J, q, a, V и dв.

В качестве недостающего пятого уравнения возьмем кинематическое уравнение, связывающее величины J, q и a (см. рис.2.2).