Jakie prostokąty? Który czworokąt nazywa się prostokątem

Prostokąt jest czworokątem, w którym każdy kąt jest prosty.

Dowód

Właściwość wyjaśnia działanie cechy 3 równoległoboku (czyli \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Przeciwne strony są równe.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Przeciwne boki są równoległe.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Sąsiednie boki są do siebie prostopadłe.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. Przekątne prostokąta są równe.

AC = BD

Dowód

Według nieruchomość 1 prostokąt jest równoległobokiem, co oznacza AB = CD.

Zatem \triangle ABD = \triangle DCA na dwóch nogach (AB = CD i AD - wspólne).

Jeżeli obie figury ABC i DCA są identyczne, to ich przeciwprostokątne BD i AC również są identyczne.

Zatem AC = BD.

Ze wszystkich figur (tylko równoległoboków!) tylko prostokąt ma równe przekątne.

To też udowodnijmy.

ABCD jest równoległobokiem \Strzałka w prawo AB = CD, AC = BD według warunku. \Strzałka w prawo \triangle ABD = \triangle DCA już z trzech stron.

Okazuje się, że \angle A = \angle D (podobnie jak kąty równoległoboku). Oraz \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Dochodzimy do wniosku, że \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Wszystkie są 90^(\circ) . Razem - 360^(\circ) .

Udowodniony!

6. Kwadrat przekątnej jest równy sumie kwadratów jej dwóch sąsiednich boków.

Własność ta jest prawdziwa na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Przekątna dzieli prostokąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Punkt przecięcia przekątnych dzieli je na pół.

AO = BO = CO = DO

9. Punkt przecięcia przekątnych to środek prostokąta i okręgu opisanego.

10. Suma wszystkich kątów wynosi 360 stopni.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Wszystkie kąty prostokąta są proste.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Średnica okręgu opisanego na prostokącie jest równa przekątnej prostokąta.

13. Zawsze możesz opisać okrąg wokół prostokąta.

Własność ta jest prawdziwa, ponieważ suma przeciwległych kątów prostokąta wynosi 180^(\circ)

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Prostokąt może zawierać okrąg wpisany i tylko jeden, jeśli ma równe długości boków (jest to kwadrat).

Geografia, biologia, chemia, algebra, geometria... Dzieci w wieku szkolnym mają do czynienia z dużą ilością informacji z różnorodnych nauk. Istnieją jednak obszary wiedzy, które dość łatwo zrozumieć, zapoznając się z ich podstawowymi prawami. Dotyczy to również geometrii. Aby poznać wszystkie zawiłości tej nauki, należy zapoznać się z jej podstawami i aksjomatami. W końcu nie ma miejsca w geometrii bez podstaw.

Definicja prostokąta

Prostokąt to figura geometryczna z czterema kątami prostymi. Definicja jest dość prosta, ale nie należy sądzić, że student nie będzie miał problemów z nauką takiego tematu, ponieważ istnieje tutaj szereg funkcji. Wymiary prostokąta zależą od długości jego boków, które najczęściej oznacza się łacińskimi literami a i b.

Właściwości prostokąta

• boki leżące naprzeciw siebie są równe i równoległe;
• przekątne figury są równe;
• punkt przecięcia przekątnych dzieli je na pół;
• prostokąt można podzielić na dwie równe części

Znaki prostokątne

Prostokąt ma tylko trzy cechy. Tutaj są:

• równoległobok o równych przekątnych jest prostokątem;
• równoległobok z jednym kątem prostym jest prostokątem;
• czworokąt mający trzy kąty proste jest prostokątem.

Trochę ciekawiej

Zatem czym jest prostokąt, jest teraz jasne, ale jaką rolę odgrywa w problemach geometrycznych i pomiarach praktycznych, pozostaje do zrozumienia. Przede wszystkim trzeba powiedzieć, że jest to najwygodniejsza figura geometryczna, za pomocą której można podzielić obszar na sekcje zarówno na terenach otwartych, jak i wewnątrz.

Co to jest prostokąt? Jak wiadomo, jest to czworokąt. Istnieje wiele odmian tego ostatniego, w tym trapez (tylko dwa boki są równe), równoległobok (przeciwległe boki są równoległe), kwadrat (wszystkie kąty i boki są takie same), romb (równoległobok o równych bokach) i inne. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat, w którym wszystkie kąty są proste, a boki równe.

Nie można mówić o tym, czym jest prostokąt, nie wspominając o tym, jak określić jego wymiary. Obszar ten jest zwykle uważany za iloczyn jego szerokości i długości, a obwód, podobnie jak w przypadku każdej figury, jest równy sumie długości wszystkich boków. W tym przypadku jest on również równy dwukrotności sumy długości i szerokości, ponieważ przeciwne boki prostokąta są równe. Teraz wiesz, czym jest prostokąt i co z nim zrobić, rozwiązując problemy i rozumiejąc tajemnice tak tajemniczej i tajemniczej nauki, jak geometria.

W programie szkolnym na lekcjach geometrii mamy do czynienia z różnymi rodzajami czworokątów: rombami, równoległobokami, prostokątami, trapezami, kwadratami. Pierwszymi kształtami, które należy zbadać, są prostokąt i kwadrat.

Czym więc jest prostokąt? Definicja drugiej klasy szkoły średniej będzie wyglądać następująco: jest to czworokąt, którego wszystkie cztery kąty są proste. Łatwo sobie wyobrazić, jak wygląda prostokąt: jest to figura z 4 kątami prostymi i bokami równoległymi do siebie parami.

W kontakcie z

Jak możemy zrozumieć, rozwiązując inne zadanie geometryczne, z jakim czworokątem mamy do czynienia? Istnieją trzy główne znaki, po czym można jednoznacznie stwierdzić, że mówimy o prostokącie. Nazwijmy je:

• figura jest czworokątem, którego trzy kąty są równe 90°;
• przedstawiony czworokąt jest równoległobokiem o równych przekątnych;
• równoległobok, który ma co najmniej jeden kąt prosty.

Warto wiedzieć: co jest wypukłe, jego cechy i objawy.

Ponieważ prostokąt jest równoległobokiem (tj. czworokątem z parami równoległych przeciwległych boków), wówczas wszystkie jego właściwości i cechy zostaną dla niego spełnione.

Wzory do obliczania długości boków

W prostokącie przeciwległe strony są równe i wzajemnie równoległe. Dłuższy bok jest zwykle nazywany długością (oznaczany przez a), krótszy bok nazywany jest szerokością (oznaczany przez b). W prostokącie na obrazku długości to boki AB i CD, a szerokości to AC i B. D. Są one również prostopadłe do podstaw (tj. są to wysokości).

Aby znaleźć boki, możesz skorzystać z poniższych wzorów. Stosują następujące konwencje: a - długość prostokąta, b - jego szerokość, d - przekątna (odcinek łączący wierzchołki dwóch kątów leżących naprzeciw siebie), S - pole figury, P - obwód, α - kąt między przekątną a długością, β jest kątem ostrym utworzonym przez obie przekątne. Metody znajdowania długości boków:

• Korzystając z przekątnej i znanego boku: a = √(d² - b²), b = √(d² - a²).
• Na podstawie powierzchni figury i jednego z jej boków: a = S / b, b = S / a.
• Korzystając z obwodu i znanego boku: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Przez przekątną i kąt między nią a długością: a = d sinα, b = d cosα.
• Przez przekątną i kąt β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Obwód i powierzchnia

Nazywa się obwód czworoboku suma długości wszystkich jego boków. Aby obliczyć obwód, można zastosować następujące wzory:

• Przez obie strony: P = 2 (a + b).
• Przez obszar i jeden z boków: P = (2S + 2a²) / a, P = (2S + 2b²) / b.

Pole to przestrzeń otoczona obwodem. Trzy główne sposoby obliczania powierzchni:

• Przez długości obu boków: S = a*b.
• Korzystając z obwodu i dowolnego znanego boku: S = (Pa - 2 a²) / 2; S = (Pb - 2 b²) / 2.
• Po przekątnej i pod kątem β: S = 0,5 d² sinβ.

Problemy na szkolnych lekcjach matematyki często wymagają dobrej znajomości właściwości przekątnych prostokąta. Wymieniamy główne:

1. Przekątne są sobie równe i w miejscu przecięcia dzielą się na dwa równe odcinki.
2. Przekątną definiuje się jako pierwiastek sumy obu boków do kwadratu (wynika z twierdzenia Pitagorasa).
3. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne.
4. Punkt przecięcia pokrywa się ze środkiem opisanego okręgu, a same przekątne pokrywają się z jego średnicą.

Do obliczenia długości przekątnej stosuje się następujące wzory:

• Korzystając z długości i szerokości figury: d = √(a² + b²).
• Korzystając z promienia okręgu opisanego na czworokącie: d = 2 R.

Definicja i właściwości kwadratu

Kwadrat jest szczególnym przypadkiem rombu, równoległoboku lub prostokąta. Różni się od tych figur tym, że wszystkie jego kąty są proste, a wszystkie cztery boki są równe. Kwadrat jest regularnym czworokątem.

Czworokąt nazywa się kwadratem w następujących przypadkach:

1. Jeśli jest to prostokąt, którego długość a i szerokość b są równe.
2. Jeśli jest to romb o równych długościach przekątnych i czterech kątach prostych.

Do właściwości kwadratu zaliczają się wszystkie omówione wcześniej właściwości związane z prostokątem, a także:

1. Przekątne są do siebie prostopadłe (właściwość rombu).
2. Punkt przecięcia pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego.
3. Obie przekątne dzielą czworokąt na cztery równe trójkąty prostokątne i równoramienne.

Oto często używane formuły obliczenia obwodu, pola i elementów kwadratowych:

• Przekątna d = a √2.
• Obwód P = 4 a.
• Powierzchnia S = a².
• Promień opisanego okręgu stanowi połowę przekątnej: R = 0,5 a √2.
• Promień okręgu wpisanego definiuje się jako połowę długości boku: r = a / 2.

Przykładowe pytania i zadania

Przyjrzyjmy się niektórym pytaniom, które możesz napotkać podczas nauki matematyki w szkole i rozwiąż kilka prostych problemów.

Problem 1. Jak zmieni się pole prostokąta, jeśli długość jego boków zostanie potrojona?

Rozwiązanie : Oznaczmy pole pierwotnej figury jako S0, a pole czworoboku o potrójnej długości boków jako S1. Korzystając z omówionego wcześniej wzoru otrzymujemy: S0 = ab. Zwiększmy teraz długość i szerokość 3 razy i napiszmy: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Porównując S0 i S1 staje się oczywiste, że drugi obszar jest 9 razy większy od pierwszego.

Pytanie 1. Czy czworokąt z kątami prostymi jest kwadratem?

Rozwiązanie : Z definicji wynika, że ​​figura mająca kąty proste jest kwadratem tylko wtedy, gdy długości wszystkich jej boków są równe. W innych przypadkach figura jest prostokątem.

Problem 2. Przekątne prostokąta tworzą kąt 60 stopni. Szerokość prostokąta wynosi 8. Oblicz, jaka jest przekątna.

Rozwiązanie: Przypomnijmy, że przekątne są podzielone na pół w punkcie przecięcia. Mamy zatem do czynienia z trójkątem równoramiennym o kącie wierzchołkowym równym 60°. Ponieważ trójkąt jest równoramienny, kąty przy podstawie również będą takie same. Z prostych obliczeń wynika, że ​​każdy z nich jest równy 60°. Z tego wynika, że ​​trójkąt jest równoboczny. Szerokość, którą znamy, to podstawa trójkąta, więc połowa przekątnej jest również równa 8, a długość całej przekątnej jest dwa razy większa i równa 16.

Pytanie 2. Czy prostokąt ma wszystkie boki równe, czy nie?

Rozwiązanie : Wystarczy pamiętać, że w kwadracie, który jest szczególnym przypadkiem prostokąta, wszystkie boki muszą być równe. We wszystkich pozostałych przypadkach warunkiem wystarczającym jest obecność co najmniej 3 kątów prostych. Równość stron nie jest cechą obowiązkową.

Problem 3. Pole kwadratu jest znane i wynosi 289. Znajdź promienie okręgu wpisanego i opisanego.

Rozwiązanie : Korzystając ze wzorów na kwadrat, przeprowadzimy następujące obliczenia:

• Ustalmy, jakie są podstawowe elementy kwadratu: a = √ S = √289 = 17; d = za √2 =1 7√2.
• Obliczmy promień okręgu opisanego na czworokącie: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Znajdźmy promień okręgu wpisanego: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Lekcja na temat „Prostokąt i jego właściwości”

Cele Lekcji:

Powtórz koncepcję prostokąta, opierając się na wiedzy zdobytej przez uczniów na lekcjach matematyki w klasach 1–6.

Rozważ właściwości prostokąta jako specjalnego rodzaju równoległoboku.

Rozważmy szczególną właściwość prostokąta.

Pokaż zastosowanie właściwości do rozwiązywania problemów.

Podczas zajęć.

I O moment organizacyjny.

Poinformuj o celu lekcji, temacie lekcji.

II Nauka nowego materiału.

Powtarzać:

1. Jaka figura nazywa się równoległobokiem?

2. Jakie właściwości ma równoległobok?

● Wprowadzenie pojęcia prostokąta.

Który równoległobok można nazwać prostokątem?

Definicja: Prostokąt to równoległobok, w którym wszystkie kąty są proste.(slajd 3)

Oznacza to, że ponieważ prostokąt jest równoległobokiem, ma wszystkie właściwości równoległoboku. Ponieważ prostokąt ma inną nazwę, musi mieć swoją właściwość (slajd 4).

● Aktywność ucznia (samodzielna): Zbadaj boki, kąty i przekątne równoległoboku i prostokąta, zapisując wyniki w tabeli.

Równoległobok

Prostokąt

Strony

Kąty

Przekątne

Wyciągnąć wniosek: Przekątne prostokąta są równe.

● To wyjście jest szczególną właściwością prostokąta:

Twierdzenie. D Przekątne prostokąta są równe.

Dany: ABCD – prostokąt,

klimatyzacja i Przekątne BD.

Udowodnić: AC = BD

Dowód:

1) Rozważ ∆ ACD i ∆ ABD:

A)
AD C =
DAB = 90°,

b) A D- ogólny,

c) AB = C D – przeciwległe boki prostokąta,

Dlatego trójkąty są równe po obu stronach.

2) Ponieważ trójkąty są równe, wówczas AC = BD.

● Rozważmy właściwości prostokąta, wiedząc, że jest to równoległobok.

Właściwość 1: suma kątów prostokąta wynosi 360°.

Dowód: a) ponieważ prostokąt ma cztery kąty po 90°, to ich suma wynosi 360°.

b) ponieważ prostokąt jest czworokątem, suma kątów czworokąta wynosi (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.

Właściwość 2: przeciwległe boki prostokąta są równe.

Dowód: a) skoro prostokąt jest równoległobokiem, a równoległobok ma równe przeciwległe boki, to przeciwległe boki prostokąta również będą równe.

Jak inaczej możesz udowodnić ten fakt?

b) jeśli narysujemy przekątną AC, to z równości trójkątów prostokątnych ABC i CDI (zgodnie z przeciwprostokątną i kątem ostrym) nastąpi równość przeciwnych boków prostokąta.

Właściwość 3: Przekątne prostokąta przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Dowód: a) ponieważ prostokąt jest równoległobokiem, a w równoległoboku przekątne przecinają się i dzielą się na pół przez punkt przecięcia, to przekątne prostokąta przecinają się i dzielą się na pół przez punkt przecięcia.

Czy istnieje inny dowód tej właściwości?

b) Tak, poprzez równość trójkątów AOB i D OS (wzdłuż boku i dwóch sąsiednich kątów)

Właściwość 4: Dwusieczna kąta prostokąta odcina od niego trójkąt równoramienny.

Dowód: a) ponieważ prostokąt jest równoległobokiem, a w równoległoboku dwusieczna kąta ostrego odcina od niego trójkąt równoramienny, to w prostokącie dwusieczna dowolnego kąta odcina od niego trójkąt równoramienny.

Czy jest jakiś inny sposób na udowodnienie tej własności?

b) Jest to możliwe. Rozważmy trójkąt prostokątny ABC i udowodnimy równość kątów BAK i BKA. Możemy wtedy stwierdzić, że boki AB i BC są równe.

Wszystkie właściwości udowadnia się za pomocą właściwości równoległoboku.

Odkryliśmy, że prostokąt ma pięć właściwości:

III Konsolidacja badanego materiału.

Zadania klasowe: 1. Znajdź obwód prostokąta (ustnie)

a) b)

Rozwiązanie:

a) P = (6+4)∙2, P = 20(dm) (przeciwległe boki prostokąta są równe)

b) ponieważ przekątne prostokąta są równe, to ∆ M ОK i ∆ M ОN są równoramiennymi, OB i OA są medianami, a więc są także wysokościami. Następnie 2BO = MN = 8, 2AO = MK = 4.

Р = (8 + 4)∙2, Р = 24(dm)

Rozwiązanie: 1) ∆АВМ jest równoramienne, ponieważ AM jest dwusieczną,

oznacza AB = VM.

2) 24 = (AB + VM + MS) ∙2,

12 = AB + VM + MS,

12 = maszyna wirtualna + maszyna wirtualna +MS,

12 = MS + 2∙VM.

3)

3 MV = 9, MV = 3, MS = 6

4) AB = CD = 3, AD = BC = 3 +6 = 9

Odpowiedź: 3 cm, 9 cm, 3 cm, 9 cm.

№ 403 (podręcznik)

Biorąc pod uwagę: ABCO -prostokąt, D = 30°,

oznacza C D = 0,5 AC = 6 cm.

2) AB = C D = 6 cm.

3) W prostokącie przekątne są równe i podzielone na pół przez punkt przecięcia, tj. AO = BO = 6 cm.

4) P(aov) = AO + VO + AB = 6 +6+ 6 = 18 cm.

Odpowiedź: 18 cm.

IV Podsumowanie lekcji.

Prostokąt ma następujące właściwości:

1. Suma kątów prostokąta wynosi 360°.

2. Przeciwległe boki prostokąta są równe.

3. Przekątne prostokąta przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

4. Dwusieczna kąta prostokąta odcina od niego trójkąt równoramienny.

5. Przekątne prostokąta są równe.

V. Praca domowa.

S. 45, pytania 12,13. nr 399, 401 a), 404

W domu sam rozważ znak prostokąta.

Prostokąt jest Po pierwsze geometryczna płaska figura. Składa się z czterech punktów połączonych ze sobą dwiema parami równych odcinków, które przecinają się prostopadle tylko w tych punktach.